什么是效用函数
效用基数效用构造效用函数u(X)常见的效用函数
边际效用
效用
导语： 在微观经济学中，效用是一个重要的概念。无论是消费者的选择还是企业的决策，效用都是一个核心因素。本文将深入探讨效用的定义、类型以及在经济学中的应用。
什么是效用？ 效用是指个体或者消费者对某种经济产品或服务的满意度或者幸福感。它是一个主观的概念，因为不同的人对相同的产品或服务可能会有不同的满意度。
基数效用
基数效用是指一个人对于某种物品或服务的满足程度的度量。也就是对效用的数值赋予了重要的意义，这些理论被称作基数效用理论。比如：我愿意为一组消费束支付的货币两倍于对另一个消费束支付的货币，那么，我对这个消费束额喜爱程度就是我对另一个消费束的喜爱程度的两倍。
构造效用函数u(X)
不具有传递性的偏好没有效用函数（如：偏好A>B>C>A），构造效用函数是为了衡量一个人对于不同数量的物品或服务的满足感而设计的一个数学函数。效用函数将物品或服务的数量作为自变量，将基数效用作为因变量。通过效用函数，我们可以衡量不同数量的物品或服务对于一个人的满足程度。 对于消费束
(
x
1
,
x
2
)
(x_1, x_2)
(x1,x2) 的偏好超过对于消费束
(
y
1
,
y
2
)
(y_1, y_2)
(y1,y2) 的偏好，其充分必要条件是
u
(
x
1
,
x
2
)
>
u
(
y
1
,
y
2
)
u(x_1, x_2) > u(y_1, y_2)
u(x1,x2)>u(y1,y2).
(
x
1
,
x
2
)
≻
(
y
1
,
y
2
)
⇔
u
(
x
1
,
x
2
)
>
u
(
y
1
,
y
2
)
(x_1, x_2) \succ (y_1, y_2) \Leftrightarrow u(x_1, x_2) > u(y_1, y_2)
(x1,x2)≻(y1,y2)⇔u(x1,x2)>u(y1,y2)
(
x
1
,
x
2
)
≺
(
y
1
,
y
2
)
⇔
u
(
x
1
,
x
2
)
<
u
(
y
1
,
y
2
)
(x_1, x_2) \prec (y_1, y_2) \Leftrightarrow u(x_1, x_2) < u(y_1, y_2)
(x1,x2)≺(y1,y2)⇔u(x1,x2) ( x 1 , x 2 ) ⪯ ( y 1 , y 2 ) ⇔ u ( x 1 , x 2 ) ≤ u ( y 1 , y 2 ) (x_1, x_2) \preceq (y_1, y_2) \Leftrightarrow u(x_1, x_2) \leq u(y_1, y_2) (x1,x2)⪯(y1,y2)⇔u(x1,x2)≤u(y1,y2) 效用函数的具体形式取决于具体的效用理论。常见的效用函数包括线性函数、凸函数、凹函数等。其中，线性函数表示物品或服务的数量与满足感成正比，凸函数表示满足感的增加速度递减，而凹函数表示满足感的增加速度递增。 常见的效用函数 1、完全替代偏好效用函数： u ( x 1 , x 2 ) = a x 1 + b x 2 u(x_1,x_2) = ax_1+bx_2 u(x1,x2)=ax1+bx2 2、完全互补偏好效用函数： u ( x 1 , x 2 ) = min { x 1 , x 2 } u(x_1,x_2) = \min\{x_1,x_2\} u(x1,x2)=min{x1,x2} 如:鞋子成对出现 3、拟线性偏好效用函数： u ( x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 u(x_1,x_2) = \sqrt x_1+x_2 u(x1,x2)=x 1+x2 4、柯布-道格拉斯偏好效用函数： u ( x 1 , x 2 ) = x 1 c x 2 d u(x_1,x_2) = x_1^cx_2^d u(x1,x2)=x1cx2d 其中 c , d c,d c,d为正数 边际效用 边际效用是指一个人对于增加一个单位物品或服务所获得的额外满足感。它是效用函数的导数或微分函数。边际效用描述了一个人对于添加一单位物品或服务的满足程度的变化。 如果一个效用函数被表达为 u ( x 1 , x 2 , … , x n ) u(x_1, x_2, \dots, x_n) u(x1,x2,…,xn)，那么该函数对 x i x_i xi 求偏导，得到 ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i} ∂xi∂u(⋅) 称为 x i x_i xi 的边际效用，即物品 x i x_i xi 对于消费提供的边际贡献。 边际效用和边际替代率 由于同一条无差异曲线表示效用不变，是一个常数： u ( x 1 , f ( x 1 ) ) = u ( x 1 , x 2 ) = c u(x_1, f(x_1)) =u(x_1,x_2) = c u(x1,f(x1))=u(x1,x2)=c 对上式求关于 x 1 x_1 x1 的偏导，会得出： ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 + ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 f ′ ( x 1 ) = 0 \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1} + \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2} f'(x_1) = 0 ∂x1∂u(⋅)+∂x2∂u(⋅)f′(x1)=0 f ′ ( x 1 ) = − ∂ u ∂ x 1 ∂ u ∂ x 2 f'(x_1) = - \frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\frac{\partial u}{\partial x_2}} f′(x1)=−∂x2∂u∂x1∂u 或者写成： ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 + ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 d x 2 d x 1 = 0 \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1} + \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2} \frac{dx_2}{dx_1} = 0 ∂x1∂u(⋅)+∂x2∂u(⋅)dx1dx2=0 得到： d x 2 d x 1 = − ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 \frac{dx_2}{dx_1} = - \frac{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1}}{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2}} dx1dx2=−∂x2∂u(⋅)∂x1∂u(⋅) 令 ∣ d x 2 d x 1 ∣ = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 |\frac{dx_2}{dx_1}| = \frac{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1}}{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2}} ∣dx1dx2∣=∂x2∂u(⋅)∂x1∂u(⋅) 为物品1对于物品2的边际替代率 M R S 1 , 2 MRS_{1,2} MRS1,2。同样地，记 ∣ d x j d x i ∣ = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i ∂ u ( ⋅ ) ∂ x j |\frac{dx_j}{dx_i}| = \frac{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i}}{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_j}} ∣dxidxj∣=∂xj∂u(⋅)∂xi∂u(⋅) 为物品 i i i 对于物品 j j j 的边际替代率，所以： M R S i , j ( x ) = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i ∂ u ( ⋅ ) ∂ x j MRS_{i,j}(x) = \frac{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i}}{\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_j}} MRSi,j(x)=∂xj∂u(⋅)∂xi∂u(⋅) 性质： （1） M R S i , j ( x ) MRS_{i,j}(x) MRSi,j(x) 是一个正数； （2） M R S i , j ( x ) MRS_{i,j}(x) MRSi,j(x) 表示当效用不变时， x i x_i xi 可以替代 x j x_j xj 的边际比率。 以苹果为例，如果一个人已经拥有10个苹果并且他的基数效用为10，那么添加一个苹果对于他的满足感的变化就是边际效用。假设他在拥有10个苹果时的满足感为100，那么添加一个苹果后，他的满足感可能增加到105。在这种情况下，他对于添加一个苹果的边际效用就是5。 边际效用有一个重要的特性，即边际效用递减。这意味着随着物品或服务的数量增加，每增加一个单位的满足感逐渐减小。所以，对于一个人来说，边际效用越来越小意味着他对于额外物品或服务的需求越来越低。